मान लीजिए f:(a, b) rightarrow R एक दो बार अवक | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = g(x)$ है।चूंकि $f(x) = 0$ के $(a, b)$ में $5$ भिन्न मूल हैं,

Vedclass · Accepted Answer

$(a, b)$ में सात मूल

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = g(x)$ है।चूंकि $f(x) = 0$ के $(a, b)$ में $5$ भिन्न मूल हैं,रोले के प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $5 - 1 = 4$ भिन्न मूल होने चाहिए।अतः,$g(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $4$ भिन्न मूल हैं।अब,$g(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू करने पर,चूंकि $g(x) = 0$ के कम से कम $4$ भिन्न मूल हैं,इसलिए $g'(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $4 - 1 = 3$ भिन्न मूल होने चाहिए।समीकरण $g(x) g'(x) = 0$ तब संतुष्ट होता है जब $g(x) = 0$ या $g'(x) = 0$ हो।चूंकि $g(x) = 0$ के कम से कम $4$ मूल हैं और $g'(x) = 0$ के कम से कम $3$ मूल हैं,इसलिए $g(x) g'(x) = 0$ के लिए $(a, b)$ में कुल भिन्न मूलों की संख्या कम से कम $4 + 3 = 7$ है।

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अंतराल $[-6, 6]$ पर फलन $f(x) = 8x^2 - 7x + 5$ पर विचार करें। $c$ का वह मान जो माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के निष्कर्ष को संतुष्ट करता है,है:

$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है

फलन $f(x)=2x^3-3x^2-x+1$ और अंतरालों $I_1=[-1,0]$, $I_2=[0,1]$, $I_3=[1,2]$, $I_4=[-2,-1]$ पर विचार करें। तो,

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